5.3. В равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны. Высота трапеции равна 16 см, а разность её оснований составляет 10 см. 1) Докажите, что высота трапеции равна полусумме оснований. 2) Найдите основания этой трапеции. При выполнении задания необходимо сделать рисунок.

1) Доказательство. Пусть основания равны a и b, где a > b, а высота равна h. Расположим равнобедренную трапецию симметрично относительно вертикальной оси. Горизонтальная проекция каждой диагонали равна половине суммы оснований, то есть (a + b)/2. Направляющие векторы диагоналей можно записать как ((a + b)/2, h) и (−(a + b)/2, h). Перпендикулярность означает, что их скалярное произведение равно нулю:

−((a + b)/2)² + h² = 0, поэтому h = (a + b)/2.

2) Нахождение оснований. По условию a + b = 2h = 32 см. Также a − b = 10 см. Складываем уравнения: 2a = 42, откуда a = 21 см. Тогда b = 32 − 21 = 11 см.

Ответ: основания равны 21 см и 11 см.