Ответ:

Единственного предложения, требующего ровно одну запятую, среди видимых вариантов нет.

1) Мальчик, раскрошив печенье, разбросал крошки рядом с голубями. Деепричастный оборот обособляется двумя запятыми.

2) Я не верил в истории, рассказанные Игорем, но молчал об этом. Причастный оборот обособляется двумя запятыми; перед союзом «но» ставится ещё одна запятая.

3) Построив дом, папа начал строить сарай, предназначенный для хранения лопат. Нужны две запятые: после деепричастного оборота и после причастного оборота.

4) Фильм мы посмотрели в кинотеатре, находящемся недалеко от дома. Причастный оборот после определяемого слова обособляется одной запятой.

Ответ: 4.