Ответ:
Единственного предложения, требующего ровно одну запятую, среди видимых вариантов нет.
1) Мальчик, раскрошив печенье, разбросал крошки рядом с голубями. Деепричастный оборот обособляется двумя запятыми.
2) Я не верил в истории, рассказанные Игорем, но молчал об этом. Причастный оборот обособляется двумя запятыми; перед союзом «но» ставится ещё одна запятая.
3) Построив дом, папа начал строить сарай, предназначенный для хранения лопат. Нужны две запятые: после деепричастного оборота и после причастного оборота.
4) Фильм мы посмотрели в кинотеатре, находящемся недалеко от дома. Причастный оборот после определяемого слова обособляется одной запятой.
Ответ: 4.
