5.31. В квадрате ABCD отметили точку M так, что треугольник AMB равносторонний. Докажите, что треугольник CMD равнобедренный.

Пусть сторона квадрата равна \(a\). Введём координаты: \(A(0,0)\), \(B(a,0)\), \(C(a,a)\), \(D(0,a)\).

1. Так как \(AMB\) — равносторонний треугольник, его вершина \(M\) находится на перпендикулярном биссектрисе \(AB\). Поэтому абсцисса точки \(M\) равна \(a/2\); запишем \(M(a/2,h)\).
2. Вычислим квадраты расстояний до вершин \(C\) и \(D\): \(MC^2=(a-a/2)^2+(a-h)^2\), а \(MD^2=(0-a/2)^2+(a-h)^2\).
3. Поскольку \((a-a/2)^2=(0-a/2)^2=a^2/4\), получаем \(MC^2=MD^2\), следовательно, \(MC=MD\).

Ответ: \(MC=MD\), поэтому треугольник \(CMD\) равнобедренный.