5.32. Докажите, что если диагонали параллелограмма равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом.

Обозначим параллелограмм \(ABCD\), а точку пересечения его диагоналей — \(O\).

1. В параллелограмме противоположные стороны равны: \(AB=CD\), \(BC=AD\). По условию диагонали равны: \(AC=BD\). Поэтому треугольники \(ABC\) и \(BAD\) равны по трём сторонам.
2. Из равенства треугольников следует, что углы \(ABC\) и \(BAD\) равны. Это соседние углы параллелограмма, а их сумма равна \(180^\circ\). Значит, каждый из них равен \(90^\circ\), и параллелограмм — прямоугольник.
3. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам: \(AO=OC\), \(BO=OD\). Так как \(AC=BD\), то их половины равны: \(AO=BO\). Диагонали перпендикулярны, поэтому треугольники \(AOB\) и \(AOD\) — прямоугольные; у них равны катеты \(AO=AO\) и \(BO=DO\). Следовательно, они равны, откуда \(AB=AD\). Значит, у параллелограмма равны соседние стороны, и он является ромбом.
4. Параллелограмм, который одновременно является прямоугольником и ромбом, — квадрат.

Что и требовалось доказать.