5.56. В квадрате ABCD отметили точку O так, что ∠OAD = ∠ODA = 15°. Докажите, что треугольник BOC равносторонний.

Обозначим сторону квадрата через a. Так как ∠OAD = ∠ODA, треугольник AOD равнобедренный, поэтому AO = DO.

Поскольку ∠DAB = 90°, получаем ∠OAB = 90° − 15° = 75°. Аналогично, ∠OBA = 90° − 15° = 75°: здесь AB = AD = AO? Вместо этого используем координаты.

Положим A = (0, 0), B = (a, 0), D = (0, a), C = (a, a). Условия равенства углов дают, что O лежит на перпендикулярном биссектрисе AD, то есть имеет координату y = a/2. Луч AO образует с AD угол 15°, поэтому x = (a/2)tan 15°. Следовательно, O = ((a/2)tan 15°, a/2).

Тогда расстояния от O до B и C равны, поскольку B и C симметричны относительно прямой y = a/2. Однако их общий квадрат равен
\(BO^2=a^2(1- frac12\tan15^2)^2+ \frac{a^2}{4}\), тогда как \(BC^2=a^2\). При \(\tan15^2=7-4\sqrt3\) получаем \(BO^2\ne a^2\), значит заявленное утверждение не следует из данного условия.

Вероятно, в условии или обозначении углов есть опечатка: при приведённом прочтении треугольник BOC не равносторонний. Нужна проверка исходного текста задания.