5.57. В прямоугольнике ABCD AD = 3AB. На стороне AD отметили точку N так, что AN = 2ND. Докажите, что ∠ANB + ∠ADB = 45°.

Пусть AB = a. Тогда AD = 3a, а из AN = 2ND следует AN = 2a и ND = a.

В прямоугольном треугольнике ABN катеты AB и AN равны a и 2a, поэтому \(\tan\angle ANB=\frac{a}{2a}=\frac12\).

В прямоугольном треугольнике DAB катеты AB = a и AD = 3a, поэтому \(\tan\angle ADB=\frac{a}{3a}=\frac13\).

Тогда сумма углов имеет тангенс
\(\tan(\angle ANB+\angle ADB)=\frac{\frac12+\frac13}{1-\frac12\cdot\frac13}=1\).
Оба угла острые, а их сумма меньше 90°, поэтому сумма равна 45°.

Ответ: \(\angle ANB+\angle ADB=45°\).