5-6 класс. Математика и логика. Урок №30. Игры и стратегии: разные задачи. Домашнее задание. Задание №2 Гоша и Роберт по очереди ставят ладьи на доску со сторонами 5 и х так, чтобы они не били друг друга. Начинает Гоша. При каких х выиграет Роберт? Найдите все варианты и докажите, что других вариантов нет.

Решение:

Ладья бьет по горизонтали и вертикали. Чтобы ладьи не били друг друга, они должны находиться в разных строках и разных столбцах.

Доска имеет размеры 5xх. Это означает, что есть 5 строк и х столбцов.

• Если х = 1, 2, 3, 4: В этом случае количество столбцов меньше количества строк. Гоша ставит свою ладью. Затем Роберт ставит свою ладью. Если х < 5, то когда Гоша поставит 5 ладей (по одной в каждую строку), ему придется ставить ладью в столбец, где уже стоит другая ладья. Это невозможно.
• Если х = 5: Доска 5х5. Гоша ставит первую ладью. Роберт ставит вторую. Они могут ставить ладьи так, чтобы они не били друг друга, пока все строки и столбцы не будут заняты. В этом случае, кто последним поставит ладью, тот и выиграет. Здесь важна стратегия.
• Если х > 5: Например, доска 5х6. Гоша ставит ладью. Роберт ставит ладью. Гоша может расставить свои 5 ладей так, чтобы они занимали 5 разных строк и 5 разных столбцов. При этом останется свободный столбец. Роберт сможет поставить свою 5-ю ладью в свободную строку и столбец.

Ключевой момент — количество строк и столбцов. Если количество столбцов (х) меньше количества строк (5), то кто-то не сможет поставить ладью. Если х < 5, то Роберт не сможет поставить свою ладью, потому что все строки (и, возможно, столбцы) будут заняты.

Если х = 5, то игра может закончиться вничью или победой одного из игроков в зависимости от стратегии. Но вопрос в том, при каких х выиграет Роберт, значит, Гоша должен проиграть.

Если х > 5, то у Гоши есть преимущество. Он может расставить свои 5 ладей, занимая 5 строк и 5 столбцов. Затем Роберт должен поставить свою 5-ю ладью. Но если х > 5, то всегда найдется свободная клетка, и Роберт сможет выиграть.

Когда Роберт выигрывает? Роберт выигрывает, когда Гоша не может сделать ход. Гоша начинает. Если х < 5, то Гоша сможет поставить максимум х ладей, но не 5. А Роберт сможет поставить 5 ладей, так как столбцов больше или равно 5. Но по условию, Гоша начинает. Если х < 5, то Гоша не сможет расставить 5 ладей. Если х = 5, то игра будет равной. Если х > 5, то Роберт всегда может выиграть.

Доказательство:

Чтобы ладьи не били друг друга, каждая ладья должна быть в своей строке и своем столбце. Всего 5 строк. Значит, можно поставить максимум 5 ладей так, чтобы они не били друг друга.

Случай 1: х < 5. Гоша начинает. Он может поставить максимум х ладей. Роберт может поставить остальные 5-х ладей, и они не будут бить друг друга, но Гоша не сможет поставить 5 ладей.

Случай 2: х = 5. Доска 5х5. Гоша и Роберт могут расставить по 5 ладей, занимая все строки и столбцы. Игра закончится, когда все клетки будут заняты. Кто последним ставит, тот выигрывает. Если Гоша ставит последнюю ладью, он выигрывает. Если Роберт ставит последнюю, он выигрывает. Если они играют оптимально, то первый игрок (Гоша) выигрывает.

Случай 3: х > 5. Гоша ставит ладью. Роберт ставит ладью. Гоша может расставить свои 5 ладей так, чтобы они занимали 5 разных строк и 5 разных столбцов. Всегда останется свободный столбец. Роберт может поставить свою 5-ю ладью в свободную строку и столбец. В этом случае Роберт может выиграть.

Уточнение: Вопрос в том, при каких х выиграет Роберт. Роберт выигрывает, если Гоша не может сделать ход. Гоша начинает. Если х < 5, то Гоша не сможет расставить 5 ладей, но Роберт сможет. Но Гоша ходит первым. Если х=1,2,3,4, то Гоша ставит ладью, Роберт ставит, они не могут поставить 5 ладей. Кто выигрывает, если нельзя сделать ход? Тот, кто не может сделать ход, проигрывает. Если х<5, то кто-то не сможет поставить 5 ладей. Гоша ходит первым. Если х=4, Гоша ставит, Роберт ставит, Гоша ставит, Роберт ставит, Гоша ставит. Теперь 5 ходов. Гоша поставил 3 ладьи, Роберт 2. У Гоши осталась 1 строка и 4 столбца. У Роберта 2 строки и 2 столбца. Гоша ставит 4-ю ладью. Роберт ставит 3-ю. Гоша ставит 5-ю. Если у Гоши есть возможность поставить 5 ладей, он это сделает. Если х>5, то Роберт может выиграть.

Окончательный вывод: Если х > 5, то Роберт имеет шанс выиграть, так как он сможет воспользоваться свободными столбцами.

Доказательство:

Пусть х > 5. Гоша начинает. Он расставляет свои 5 ладей в разные строки и столбцы. Так как х > 5, найдется свободный столбец. Роберт ставит свою 5-ю ладью. У Роберта тоже есть возможность расставить свои 5 ладей, и у него тоже найдется свободный столбец (или он может воспользоваться свободным столбцом, который оставил Гоша). Таким образом, если х > 5, то Роберт может выиграть.

Пример: Доска 5x6 (х=6).

Гоша ставит ладью в (1,1).

Роберт ставит ладью в (2,2).

Гоша ставит ладью в (3,3).

Роберт ставит ладью в (4,4).

Гоша ставит ладью в (5,5).

Теперь у Гоши заняты строки 1,2,3,4,5 и столбцы 1,2,3,4,5. Остался свободный 6-й столбец.

Роберт ставит свою 5-ю ладью. Он может поставить ее в (1,6) (или любую другую свободную строку и 6-й столбец). Но это неверно. Он должен ставить в свою строку.

Правильное рассуждение: Задача сводится к расстановке 5 ладей на доске 5хх так, чтобы они не били друг друга. Это эквивалентно выбору 5 клеток, где в каждой строке и каждом столбце не более одной клетки.

Если х < 5, то невозможно расставить 5 ладей. Гоша не сможет сделать 5 ходов. Кто не может сделать ход, тот проигрывает. Если Гоша ходит первым, и х < 5, то он не сможет поставить 5 ладей. Значит, Роберт выиграет.

Если х = 5, то возможна полная расстановка 5 ладей. Первый игрок (Гоша) имеет выигрышную стратегию.

Если х > 5, то также возможно расставить 5 ладей. Но теперь у каждого игрока есть свобода выбора столбца. Если Гоша расставляет свои 5 ладей, он занимает 5 строк и 5 столбцов. Останется х-5 свободных столбцов. Роберт, ставя свою 5-ю ладью, может выбрать любую свободную строку и любой свободный столбец. Если х > 5, то у Роберта есть возможность выбрать такую позицию, что он выиграет.

Когда Роберт выигрывает? Роберт выигрывает, если х < 5. Это значит, что Гоша не может расставить 5 ладей, так как столбцов меньше 5. Если х=1,2,3,4, то Гоша сможет поставить максимум х ладей. Его следующий ход будет невозможен, или он поставит ладью в занятый столбец, что запрещено. В любом случае, если х<5, то Роберт выигрывает.

Доказательство:

Пусть х < 5. Гоша начинает. Он может поставить ладью только в один из х столбцов. Роберт может поставить ладью во второй столбец. Максимум, что может сделать Гоша, это поставить х ладей, занимая х строк и х столбцов. После этого у него не останется свободных столбцов для следующего хода (так как все х столбцов уже заняты), и он не сможет поставить 5-ю ладью. Так как Гоша не может сделать 5 ходов (он проигрывает, если не может поставить 5 ладей), то Роберт выигрывает.

Пример: Доска 5х3 (х=3).

Гоша ставит в (1,1).

Роберт ставит в (2,2).

Гоша ставит в (3,3).

Роберт ставит в (4,1).

Теперь заняты столбцы 1, 2, 3. Гоша должен поставить 5-ю ладью, но все столбцы заняты. Гоша проигрывает.

Ответ: Роберт выиграет при х < 5.