5.9. Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит ее. Он попадает в цель с вероятностью 0,3 при каждом отдельном выстреле. Сколько патронов потребуется стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,6?

Решение:

Пусть \( p \) — вероятность попадания в цель при одном выстреле, \( p = 0.3 \).

Пусть \( q \) — вероятность промаха при одном выстреле, \( q = 1 - p = 1 - 0.3 = 0.7 \).

Пусть \( n \) — количество патронов, которое потребуется стрелку.

Вероятность того, что стрелок поразит цель не менее чем с \( n \)-го патрона, равна 1 минус вероятность того, что он промахнется \( n \) раз подряд.

Вероятность промахнуться \( n \) раз подряд равна \( q^n \).

Таким образом, вероятность поразить цель не менее чем с \( n \)-го патрона равна \( 1 - q^n \).

Нам нужно найти такое \( n \), чтобы \( 1 - q^n \ge 0.6 \).

\( 1 - (0.7)^n \ge 0.6 \)

\( 0.4 \ge (0.7)^n \)

Подставим значения \( n \) и проверим:

• Если \( n = 1 \): \( (0.7)^1 = 0.7 \). \( 0.4 \ge 0.7 \) — неверно.
• Если \( n = 2 \): \( (0.7)^2 = 0.49 \). \( 0.4 \ge 0.49 \) — неверно.
• Если \( n = 3 \): \( (0.7)^3 = 0.343 \). \( 0.4 \ge 0.343 \) — верно.

Значит, потребуется 3 патрона.

Ответ: 3