5. AB - общая касательная к двум касающимся окружностям с радиусами 25 и 49 см, А и В - точки касания. Найдите длину отрезка АВ.

Решение:

1. Построение вспомогательной фигуры.

Пусть O₁ и O₂ - центры окружностей с радиусами r₁ = 25 см и r₂ = 49 см соответственно. Точки касания на окружностях - A и B.

O₁A ⊥ AB и O₂B ⊥ AB, так как радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны касательной.

Проведем отрезок O₁O₂, который соединяет центры окружностей. Так как окружности касаются внешне, O₁O₂ = r₁ + r₂ = 25 + 49 = 74 см.

2. Построение прямоугольной трапеции.

Рассмотрим четырехугольник O₁ABO₂. Так как O₁A и O₂B перпендикулярны AB, то O₁ABO₂ — прямоугольная трапеция.

3. Построение прямоугольника и прямоугольного треугольника.

Из точки O₁ проведем прямую, параллельную AB, до пересечения с O₂B. Обозначим точку пересечения как C.

Получим прямоугольник O₁ABC, где AB = O₁C и O₁A = BC = 25 см.

Получим прямоугольный треугольник O₁CO₂.

4. Найдем катеты прямоугольного треугольника O₁CO₂.

Гипотенуза O₁O₂ = 74 см.

Катет O₁C = AB (длина, которую нужно найти).

Катет CO₂ = O₂B - BC = r₂ - r₁ = 49 см - 25 см = 24 см.

5. Найдем длину отрезка AB (O₁C).

По теореме Пифагора для треугольника O₁CO₂:

O₁C² + CO₂² = O₁O₂²

AB² + 24² = 74²

AB² + 576 = 5476

AB² = 5476 - 576

AB² = 4900

AB = √4900 = 70 см.

Ответ: AB = 70 см.