5*. AB - общая касательная к двум касающимся окружностям с радиусами 25 см и 49 см, А и В - точки касания. Найдите длину отрезка AB.

Решение:

1. Пусть \( O_1 \) и \( O_2 \) — центры окружностей с радиусами \( r_1 = 25 \text{ см} \) и \( r_2 = 49 \text{ см} \) соответственно.
2. Так как окружности касаются, расстояние между их центрами равно сумме радиусов: \( O_1O_2 = r_1 + r_2 = 25 + 49 = 74 \text{ см} \).
3. Проведем радиусы \( O_1A \) и \( O_2B \) к точкам касания. \( O_1A \perp AB \) и \( O_2B \perp AB \).
4. Проведем из \( O_1 \) прямую, параллельную AB, до пересечения с \( O_2B \) в точке C. Тогда \( O_1ABC \) — прямоугольная трапеция, а \( O_1C = AB \) и \( AC = O_1B \).
5. \( O_1A = 25 \text{ см} \), \( O_2B = 49 \text{ см} \). \( O_1C = O_2B - O_1A = 49 - 25 = 24 \text{ см} \).
6. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle O_1CO_2 \). По теореме Пифагора: \( O_1C^2 + CO_2^2 = O_1O_2^2 \).
7. \( AB^2 + 24^2 = 74^2 \)
8. \( AB^2 + 576 = 5476 \)
9. \( AB^2 = 5476 - 576 = 4900 \)
10. \( AB = \sqrt{4900} = 70 \text{ см} \).

Ответ: AB = 70 см.