5. ABCD — параллелограмм. O — точка пересечения диагоналей. M — середина AD. \(\overrightarrow{AB}=\vec a\), \(\overrightarrow{AD}=\vec b\). Выразите через векторы \(\vec a\) и \(\vec b\): а) \(\overrightarrow{BD}\); б) \(\overrightarrow{OC}\); в) \(\overrightarrow{BM}\).

Выберем точку A за начало отсчёта. Тогда положение вершин задаётся векторами: \(B=\vec a\), \(D=\vec b\), а в параллелограмме \(C=\vec a+\vec b\). Точка пересечения диагоналей O — середина AC, а M — середина AD.

1. \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=-\vec a+\vec b=\vec b-\vec a\).
2. \(\overrightarrow{OC}=\frac12\overrightarrow{AC}=\frac12(\vec a+\vec b)\), поскольку O — середина AC.
3. Так как M — середина AD, \(\overrightarrow{AM}=\frac12\vec b\). Поэтому \(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=-\vec a+\frac12\vec b\).

Ответ: а) \(\vec b-\vec a\); б) \(\frac12(\vec a+\vec b)\); в) \(\frac12\vec b-\vec a\).