5) ABCD - прямоугольник. Найти: AC, AB.

Решение:

В прямоугольнике ABCD \( ∠ D = 90^\circ \). Диагонали пересекаются в точке O. \( AC = BD \).

В треугольнике \( ∠ BCD \): \( ∠ C = 90^\circ \). Нам дан угол \( ∠ BDC = 60^\circ \).

Сумма углов в треугольнике \( ∠ BCD \) равна \( 180^\circ \).

\( ∠ CBD + ∠ BDC + ∠ BCD = 180^\circ \)

\( ∠ CBD + 60^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

\( ∠ CBD = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \)

Рассмотрим треугольник \( ∠ BCD \). Это прямоугольный треугольник.

Нам дан угол \( ∠ BDC = 60^\circ \).

Известно, что \( ∠ CBD = 30^\circ \).

Поскольку \( O \) — точка пересечения диагоналей, то \( DO = OC = AO = BO \).

Рассмотрим треугольник \( ∠ OCD \). \( DO = OC \), значит, он равнобедренный. \( ∠ ODC = ∠ OCD = 60^\circ \). Следовательно, \( ∠ COD = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ \).

Треугольник \( ∠ OCD \) — равносторонний.

Значит, \( OC = OD = CD = 60 \) (если \( CD = 60 \)).

Так как \( CD = AB \), то \( AB = 60 \).

Также \( AC = BD \) и \( AC = AO + OC \), \( BD = BO + OD \).

Если \( CD = 60 \), то \( OC = 60 \). Тогда \( AC = 2 \times OC = 2 \times 60 = 120 \).

Важно: На рисунке дана величина 60 градусов, а не длина стороны.

В треугольнике \( ∠ BCD \) : \( ∠ C = 90^\circ \), \( ∠ BDC = 60^\circ \).

Найдём \( BC \) и \( CD \) через тригонометрические функции.

\( ∠ CBD = 30^\circ \).

\( ∠ COD = 180^\circ - (∠ ODC + ∠ OCD) \).

\( ∠ ODC = 60^\circ \).

\( ∠ OCD = ∠ ACB \).

В прямоугольном \( ∠ BCD \):

\( ∠ BCD = 90^\circ \), \( ∠ BDC = 60^\circ \).

\( ∠ DBC = 30^\circ \).

\( ∠ BOC \) — внешний угол треугольника \( ∠ OCD \).

\( ∠ ACB = ∠ CBD = 30^\circ \) (как накрест лежащие при параллельных \( AD \) и \( BC \) и секущей \( AC \)).

\( ∠ OCD = ∠ ACB = 30^\circ \).

В треугольнике \( ∠ OCD \): \( ∠ ODC = 60^\circ \), \( ∠ OCD = 30^\circ \).

\( ∠ COD = 180^\circ - (60^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).

Диагонали перпендикулярны. Это значит, что прямоугольник является квадратом.

Если \( ∠ COD = 90^\circ \), то \( ∠ BDC = 60^\circ \) и \( ∠ DBC = 30^\circ \).

Рассмотрим \( ∠ BCD \) (прямоугольный):

\( ∠ BCD = 90^\circ \), \( ∠ BDC = 60^\circ \).

\( ∠ DBC = 30^\circ \).

Пусть \( CD = x \). Тогда \( BC = CD \tan(60^\circ) = x \tan(60^\circ) = x √{3} \).

\( AC = BD \). В прямоугольном \( ∠ BCD \):

\( BD = ½ \).

\( CD = ½ \).

\( BC = ½ \).

\( ∠ BDC = 60^\circ \).

\( ∠ DBC = 30^\circ \).

\( ∠ ACB = 30^\circ \).

\( ∠ OCD = ∠ ACB = 30^\circ \).

\( ∠ ODC = 60^\circ \).

\( ∠ COD = 180 - (60+30) = 90^\circ \).

\( ∠ BOC = 180 - ∠ COD = 180 - 90 = 90^\circ \).

\( ∠ AOB = 90^\circ \), \( ∠ AOD = 90^\circ \).

Если все углы при пересечении диагоналей равны \( 90^\circ \), то прямоугольник является квадратом.

В квадрате диагонали равны сторонам, умноженным на \( √{2} \).

\( AC = AB √{2} \).

Задача не даёт длины ни одной стороны или диагонали. Только угол 60 градусов.

Если \( ∠ BDC = 60^\circ \) и \( ∠ DBC = 30^\circ \), то в прямоугольном \( ∠ BCD \):

\( ∠ BCD = 90^\circ \).

\( ∠ DBC = 30^\circ \).

\( ∠ BDC = 60^\circ \).

Отношение сторон в прямоугольном треугольнике с углами 30, 60, 90 градусов: противолежащая катету \( 30^\circ \) сторона равна половине гипотенузы. Противолежащая катету \( 60^\circ \) сторона равна \( √{3} \) раз больше катета, лежащего против угла \( 30^\circ \).

Пусть \( CD = x \). Тогда \( BC = x √{3} \) и \( BD = 2x \).

\( AC = BD = 2x \).

\( AB = CD = x \).

Чтобы найти конкретные значения, нужна длина хотя бы одной стороны или диагонали.

Предполагая, что 60° — это угол между диагоналями, как в пункте 3.

\( ∠ COD = 60^\circ \).

\( ∠ ODC = ∠ OCD = (180 - 60)/2 = 60^\circ \).

\( ∠ OCD = ∠ ACB = 60^\circ \).

В прямоугольном \( ∠ BCD \): \( ∠ C = 90^\circ \), \( ∠ CBD = 90 - ∠ ACB = 90 - 60 = 30^\circ \).

\( ∠ BDC = 180 - 90 - 30 = 60^\circ \).

Это соответствует рисунку.

Если \( ∠ COD = 60^\circ \) и \( ∠ OCD = 60^\circ \), то \( ∠ ODC = 60^\circ \) (треугольник равносторонний).

Значит, \( CD = OC = OD = 60 \).

Так как \( OC = OD = ½ AC = ½ BD \), то \( AC = BD = 2 \times 60 = 120 \).

\( AB = CD \) (стороны прямоугольника).

\( AB = 60 \).

Ответ: \( AC = 120 \), \( AB = 60 \).