3) ABCD – прямоугольник. Доказать: \( AM = ND \).

Доказательство:

В прямоугольнике ABCD диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам: \( AC = BD \), \( AO = OC = BO = OD \).

Рассмотрим треугольники AOM и DON.

1. \( AO = DO \) (половины равных диагоналей).

2. \( ∠ AOM = ∠ DON \) (вертикальные углы).

3. \( ∠ OAM = ∠ OND \) (накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC, и при параллельных прямых AD и BC и секущей BD, соответственно).

По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), \(\triangle AOM = ∠ DON \).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: \( AM = DN \).

Что и требовалось доказать.