5. ∠AOD — развёрнутый. Найди ∠AOB и ∠BOD, если: а) ∠AOB составляет 1/3 угла ∠BOD; б) ∠AOB составляет 0,5 угла ∠BOD; в) ∠AOB составляет 70% угла ∠BOD. Прямые AC и KD пересекаются в точке O. Найди градусную меру углов, образующихся при этом, если: а) один из углов равен 25°; б) сумма двух углов равна 200°; в) сумма двух углов равна 40°; г) сумма трёх углов равна 310°.

В первой части смежные углы составляют 180°.

а) Пусть ∠AOB = x, тогда ∠BOD = 3x. x + 3x = 180°, x = 45°. Следовательно, ∠AOB = 45°, ∠BOD = 135°.

б) Пусть ∠BOD = x, тогда ∠AOB = 0,5x. 1,5x = 180°, x = 120°. Следовательно, ∠AOB = 60°, ∠BOD = 120°.

в) Пусть ∠BOD = x, тогда ∠AOB = 0,7x. 1,7x = 180°, x = 1800/17 ≈ 105,88°. Следовательно, ∠AOB = 1260/17 ≈ 74,12°, ∠BOD = 1800/17 ≈ 105,88°.

Во второй части при пересечении двух прямых вертикальные углы равны, а смежные в сумме дают 180°.

а) Если один угол равен 25°, вертикальный ему тоже равен 25°, а два смежных угла равны 180° − 25° = 155°. Получаются углы 25°, 155°, 25°, 155°.

б) Смежные углы не могут иметь сумму 200°. Значит, сумма дана для пары вертикальных углов: каждый равен 200° : 2 = 100°. Смежные с ними углы равны 80°. Получаются углы 100°, 80°, 100°, 80°.

в) Сумму 40° также могут иметь только вертикальные углы: каждый равен 40° : 2 = 20°. Смежные углы равны 160°. Получаются углы 20°, 160°, 20°, 160°.

г) Сумма четырёх углов вокруг точки равна 360°. Четвёртый угол равен 360° − 310° = 50°. Вертикальный ему угол тоже 50°, а два остальных равны 130°. Получаются углы 50°, 130°, 50°, 130°.

Ответ: первая часть — а) 45° и 135°; б) 60° и 120°; в) приблизительно 74,12° и 105,88°. Вторая часть — а) 25°, 155°, 25°, 155°; б) 100°, 80°, 100°, 80°; в) 20°, 160°, 20°, 160°; г) 50°, 130°, 50°, 130°.