5. АВ – общая касательная к двум касающимся окружностям радиусами 4 см и 9 см, А и В - точки касания. Найдите длину отрезка. АВ.

Решение:

Пусть \( r_1 = 4 \) см и \( r_2 = 9 \) см – радиусы двух окружностей. Пусть \( O_1 \) и \( O_2 \) – центры этих окружностей. Так как окружности касаются, расстояние между их центрами равно сумме радиусов:

\( O_1 O_2 = r_1 + r_2 = 4 \text{ см} + 9 \text{ см} = 13 \) см.

АВ – общая внешняя касательная. А – точка касания на окружности с центром \( O_1 \), В – точка касания на окружности с центром \( O_2 \).

Проведем радиусы \( O_1 A \) и \( O_2 B \). Эти радиусы перпендикулярны касательной АВ, то есть \( \angle O_1 AB = 90° \) и \( \angle O_2 BA = 90° \).

Теперь построим отрезок \( O_1 C \) параллельно АВ, где точка С лежит на \( O_2 B \).

Получится прямоугольник \( O_1 ABC \), где \( AB = O_1 C \) и \( O_1 A = BC \).

Тогда \( O_2 C = O_2 B - BC = O_2 B - O_1 A = r_2 - r_1 = 9 \text{ см} - 4 \text{ см} = 5 \) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( O_1 C O_2 \) (так как \( O_1 C \) параллельно АВ, а АВ перпендикулярно \( O_2 B \), то \( O_1 C \) перпендикулярно \( O_2 B \)).

По теореме Пифагора:

\( O_1 O_2^2 = O_1 C^2 + O_2 C^2 \)

\( 13^2 = O_1 C^2 + 5^2 \)

\( 169 = O_1 C^2 + 25 \)

\( O_1 C^2 = 169 - 25 \)

\( O_1 C^2 = 144 \)

\( O_1 C = \sqrt{144} \)

\( O_1 C = 12 \) см.

Так как \( AB = O_1 C \), то \( AB = 12 \) см.

Ответ: 12 см.