5. CD — биссектриса. Найдите x, y. В треугольнике BCA: CA = √3, ∠A = 15°, CD — биссектриса угла C, BC = y, DA = x; на рисунке у C отмечен прямой угол.

Считаем по отметке на рисунке, что ∠C = 90°. Тогда ∠B = 180° − 90° − 15° = 75°.

В прямоугольном треугольнике \(y=BC=CA\tan15°=\sqrt3(2-\sqrt3)=2\sqrt3-3\).

Найдём гипотенузу: \(BA=\dfrac{CA}{\cos15°}=\dfrac{\sqrt3}{\cos15°}\).

По теореме о биссектрисе \(\dfrac{BD}{DA}=\dfrac{BC}{CA}\). Поэтому \(DA=\dfrac{BA\cdot CA}{BC+CA}=\dfrac{3}{(3\sqrt3-3)\cos15°}=\dfrac{2\sqrt3}{3}\).

Ответ: \(x=\dfrac{2\sqrt3}{3}\), \(y=2\sqrt3-3\).