5. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что ∠DBC = 28°, ∠ABD=64° ∠BDA=36°. Найти углы четырёхугольника.

Решение:

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Это означает, что сумма противоположных углов равна 180°.

1. Найдем ∠ABC:

• \[ \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 64° + 28° = 92° \]

2. Найдем ∠ADC:

• Так как ABCD вписан в окружность, то ∠ADC противолежит ∠ABC.
• \[ \angle ADC = 180° - \angle ABC = 180° - 92° = 88° \]

3. Найдем ∠CAD:

• Углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
• \[ \angle CAD = \angle CBD = 28° \] (опираются на дугу CD)
• \[ \angle BAC = \angle BDC \] (опираются на дугу BC).
• \[ \angle BCA = \angle BDA = 36° \] (опираются на дугу AB).

4. Найдем ∠DBC:

• \[ \angle DBC = 28° \] (дано)

5. Найдем ∠BDC:

• В треугольнике BCD: less BCD + less CBD + less BDC = 180°
• less BCD = 180° - less ADC = 180° - 88° = 92° (противоположный углу ABC)
• \[ \angle BCD = 180° - \angle ABC = 180° - 92° = 88° \]
• Ошибка в предыдущем пункте. Угол ADC = 88°.
• Угол BCD противолежит углу BAD.
• В треугольнике BCD: less BCD + less CBD + less BDC = 180°
• less BCD = ?
• less CBD = 28°
• less BDC = ?
• Найдем ∠BAD:
• less BAD = ?
• less BDA = 36°
• less ABD = 64°
• В треугольнике ABD: less BAD + less ABD + less BDA = 180°
• less BAD + 64° + 36° = 180°
• less BAD + 100° = 180°
• less BAD = 80°
• Найдем ∠BCD:
• less BCD = 180° - less BAD = 180° - 80° = 100°
• Проверка:
• less ABC = 92°, less ADC = 88° (92° + 88° = 180°)
• less BAD = 80°, less BCD = 100° (80° + 100° = 180°)
• Углы четырёхугольника:
• less ABC = 92°
• less BCD = 100°
• less CDA = 88°
• less DAB = 80°

Ответ: ∠ABC = 92°, ∠BCD = 100°, ∠CDA = 88°, ∠DAB = 80°