5. Четырёхугольник \(ABCD\) задан координатами своих вершин \(A(1;1), B(3;5), C(9;-1), D(7;5)\). Докажите, что \(ABCD\) — параллелограмм. Найдите его диагонали.

По указанным координатам утверждение о параллелограмме неверно. Проверим середины диагоналей — у параллелограмма они должны совпадать.

Середина \(AC\): \[\left(\frac{1+9}{2};\frac{1+(-1)}{2}\right)=(5;0).\]

Середина \(BD\): \[\left(\frac{3+7}{2};\frac{5+5}{2}\right)=(5;5).\]

Середины различны, поэтому при данных координатах \(ABCD\) не является параллелограммом. Длины диагоналей:

\[AC=\sqrt{(9-1)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{68}=2\sqrt{17},\qquad BD=\sqrt{(7-3)^2+(5-5)^2}=4.\]

Возможно, в условии опечатка в координатах. По записанным на изображении данным доказать, что четырёхугольник — параллелограмм, нельзя.

Ответ: данные координаты не задают параллелограмм; \(AC=2\sqrt{17}\), \(BD=4\).