№5. Дана окружность с центром О. Около нее описан ДАВС. Известны углы треугольника - ∠ABC = 74°, ∠BAC = 46°. Найдите ∠BOC, ∠AOB, ∠AOC.

Задание №5

Дано:

• Окружность с центром О.
• Треугольник ABC описан около окружности (то есть окружность вписана в треугольник).
• \( \angle ABC = 74^\circ \)
• \( \angle BAC = 46^\circ \)

Найти: \( \angle BOC \), \( \angle AOB \), \( \angle AOC \).

Важное замечание: В условии сказано "около нее описан \(\triangle ABC\)". Это означает, что окружность вписана в треугольник ABC, а не наоборот. Центр вписанной окружности (центр О) является точкой пересечения биссектрис треугольника.

Решение:

1. Находим третий угол треугольника ABC (∠BCA):

Сумма углов треугольника равна 180°.

\[ \angle BCA = 180^\circ - \angle ABC - \angle BAC \]

\[ \angle BCA = 180^\circ - 74^\circ - 46^\circ = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \]

2. Находим углы ∠BOC, ∠AOB, ∠AOC:

Центр вписанной окружности (точка О) является точкой пересечения биссектрис углов треугольника.

\( BO \) — биссектриса \( \angle ABC \), значит \( \angle OBC = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 74^\circ = 37^\circ \).

\( CO \) — биссектриса \( \angle BCA \), значит \( \angle OCB = \frac{1}{2} \angle BCA = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ \).

\( AO \) — биссектриса \( \angle BAC \), значит \( \angle OAC = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 46^\circ = 23^\circ \).

а) Находим ∠BOC:

В треугольнике OBC:

\[ \angle BOC = 180^\circ - \angle OBC - \angle OCB \]

\[ \angle BOC = 180^\circ - 37^\circ - 30^\circ = 180^\circ - 67^\circ = 113^\circ \]

б) Находим ∠AOB:

В треугольнике AOB:

\[ \angle AOB = 180^\circ - \angle OAB - \angle OBA \]

\[ \angle AOB = 180^\circ - 23^\circ - 37^\circ = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \]

в) Находим ∠AOC:

В треугольнике AOC:

\[ \angle AOC = 180^\circ - \angle OAC - \angle OCA \]

\[ \angle AOC = 180^\circ - 23^\circ - 30^\circ = 180^\circ - 53^\circ = 127^\circ \]

Проверка: Сумма центральных углов должна быть 360°.

\[ \angle BOC + \angle AOB + \angle AOC = 113^\circ + 120^\circ + 127^\circ = 360^\circ \]

Ответ: \( \angle BOC = 113^\circ \), \( \angle AOB = 120^\circ \), \( \angle AOC = 127^\circ \).