5. Дано: ΔABC, AB = BC, AK и CM - медианы. Докажите: a) AK = CM; б) ∠BAK = ∠BCM; в) ∠KAC = ∠MCA.

a) В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) медианы, проведенные к равным сторонам, равны. Так как AK и CM - медианы, и AB = BC, то AK = CM.
б) Так как AK и CM медианы, то K и M - середины BC и AB соответственно. Из равенства AB = BC следует, что AK=CM, также BK=AM, и BA=BC. Следовательно ΔABK = ΔCBM по первому признаку равенства треугольников (SAS), откуда ∠BAK = ∠BCM.
в) Так как ΔABC равнобедренный (AB=BC), то ∠BAC = ∠BCA. Так как AK и CM медианы, AK=CM, и так как ΔABK = ΔCBM, то AK = CM, и ∠BAK = ∠BCM. Вычитая равные углы из равных углов получаем ∠BAC - ∠BAK = ∠BCA - ∠BCM, т.е. ∠KAC = ∠MCA.