5. Дано: ABCD — параллелограмм. Доказать: MNPK — прямоугольник.

По отметкам на рисунке отрезки, проведённые из вершин параллелограмма к противоположным сторонам, являются биссектрисами его углов; точки M, N, P, K — их попарные пересечения.

1. Соседние углы параллелограмма supplementary: их сумма равна 180°.
2. Биссектрисы двух соседних углов образуют угол, равный половине суммы этих углов: 180° : 2 = 90°. Поэтому соседние стороны MNPK перпендикулярны.
3. Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому их биссектрисы параллельны. Следовательно, противоположные стороны MNPK параллельны.

Четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны и есть прямой угол, — прямоугольник.

Ответ: MNPK — прямоугольник.