8. Дано: ABCD — квадрат; A₁, B₁, C₁, D₁ — точки на его сторонах, отмеченные засечками как середины сторон. Доказать: A₁B₁C₁D₁ — квадрат.

Пусть сторона ABCD равна a. Так как A₁, B₁, C₁, D₁ — середины сторон, на каждой стороне квадрата расстояние от вершины до ближайшей отмеченной точки равно a/2.

1. Рассмотрим треугольник AB₁A₁. Его катеты AB₁ и AA₁ равны a/2 и перпендикулярны, поскольку AB ⟂ AD. Поэтому ∠BA₁B₁ в соответствующем прямоугольном треугольнике имеет равные катеты; отрезок A₁B₁ образует угол 45° со сторонами квадрата и имеет длину a/√2.
2. Тем же рассуждением для остальных сторон получаем A₁B₁ = B₁C₁ = C₁D₁ = D₁A₁ = a/√2.
3. В каждом углу исходного квадрата соседние стороны внутреннего четырёхугольника направлены под углами 45° к взаимно перпендикулярным сторонам квадрата. Поэтому каждый внутренний угол равен 90°.

Четырёхугольник с четырьмя равными сторонами и прямыми углами — квадрат.

Ответ: A₁B₁C₁D₁ — квадрат.