5. Дано: ABCD — прямоугольник, BC = 8. Диагонали AC и BD пересекаются в O. Угол OAD = 30°. Из точки E на AC проведён перпендикуляр ED к AC. Найти ∠CDE, S_ABO, S_BCO.

Question

Accepted Answer

В условии рисунка точка E лежит на диагонали AC, а ED перпендикулярна AC.

Так как AC образует с AD угол 30°, а DC перпендикулярна AD, то угол между AC и DC равен \(60^\circ\). Поскольку DE перпендикулярна AC, угол между DE и DC равен \(30^\circ\). Следовательно, \(\angle CDE = 30^\circ\).
Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(AO = OC = \frac{AC}{2}\), а \(BO = OD = \frac{BD}{2}\). Треугольники ABO и BCO имеют равные основания \(AO = OC\) и одинаковую высоту к диагонали AC, поэтому их площади равны.
Высота прямоугольника \(AB = BC\tan30^\circ = 8\cdot\frac{1}{\sqrt3}=\frac{8\sqrt3}{3}\).
Площадь прямоугольника: \(S_{ABCD}=8\cdot\frac{8\sqrt3}{3}=\frac{64\sqrt3}{3}\). Четыре треугольника, образованные диагоналями, равновелики, поэтому
\(S_{ABO}=S_{BCO}=\frac14S_{ABCD}=\frac{16\sqrt3}{3}\).

Ответ: \(\angle CDE=30^\circ\), \(S_{ABO}=\frac{16\sqrt3}{3}\), \(S_{BCO}=\frac{16\sqrt3}{3}\).