5. Дано: О - общая середина AB и CD, AB ⊥ CD (рис. 4.163). Доказать: AC = DB.

Решение:

По условию, O - общая середина отрезков AB и CD. Это означает, что AO = OB и CO = OD.

Также по условию, AB ⊥ CD, что означает, что угол между AB и CD равен 90°.

Рассмотрим треугольники ΔAOC и ΔBOD. У нас есть:

1. AO = OB (по условию)
2. CO = OD (по условию)
3. ∠AOC = ∠BOD (как вертикальные углы)

Следовательно, ΔAOC = ΔBOD по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны, то есть AC = BD.

Ответ: Доказано.