5. ДЕСЯТЬ БАШЕН. В древности один правитель желал построить десять башен, соединенных между собой стенами. Стены должны тянуться пятью прямыми линиями, с четырьмя башнями на каждой линии. Приглашенный строитель представил план (рис. 291), но правитель остался недоволен им: ведь при таком рас-

Пошаговое решение:

Эта задача является вариацией известной головоломки, где нужно расположить 10 точек так, чтобы на каждой из 5 прямых было по 4 точки.

• Классическое решение:
1. Представьте себе две фигуры: равносторонний треугольник, направленный вершиной вверх, и равносторонний треугольник, направленный вершиной вниз, наложенные друг на друга так, чтобы они образовывали звезду Давида (шестиконечную звезду).
2. В вершинах этой звезды (6 точек) и в центре пересечения треугольников (1 точка) разместите 7 башен.
3. Для размещения оставшихся 3 башен, каждую из двух вершин, которые находятся на одной вертикальной линии, соедините линией, проходящей через центр. Точки пересечения этих линий с сторонами внутреннего шестиугольника будут еще двумя башнями.
• Альтернативное решение (с открытыми линиями):
1. Нарисуйте пятиконечную звезду. В каждой вершине звезды (5 точек) и на каждой из пяти сторон звезды (5 точек) расположите башни.
2. Таким образом, вы получите 10 башен. Каждая линия (сторона звезды или линия, проходящая через вершину и две противоположные вершины) будет содержать ровно 4 башни.

Ответ: Правитель остался недоволен, потому что строитель, вероятно, пытался нарисовать 5 отдельных линий, каждая из которых содержала бы 4 башни, что невозможно при 10 башнях. Решение заключается в построении фигуры (например, пятиконечной звезды), где линии пересекаются и башни располагаются в вершинах и на сторонах, или в построении двух наложенных треугольников, позволяющем разместить башни на вершинах и в центрах пересечения.