5. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8см и образует с плоскостью основания цилиндра угол 60°. Найти площадь полной поверхности цилиндра.

Решение:

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник. Диагональ этого прямоугольника равна 8 см. Угол между диагональю и плоскостью основания (то есть с основанием прямоугольника) равен 60°.

Пусть \( d \) — диагональ осевого сечения, \( h \) — высота цилиндра, \( D \) — диаметр основания цилиндра. Диагональ \( d = 8 \) см.

В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю, высотой и диаметром основания:

• \( h = d \cdot \sin(60°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \) см.
• \( D = d \cdot \cos(60°) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \) см.

Радиус основания цилиндра \( R = D/2 = 4/2 = 2 \) см.

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле \( S_{полн} = 2\pi R^2 + 2\pi R h \).

Подставляем найденные значения:

\[ S_{полн} = 2\pi (2)^2 + 2\pi (2) (4\sqrt{3}) \]

\[ S_{полн} = 2\pi (4) + 16\sqrt{3}\pi \]

\[ S_{полн} = 8\pi + 16\sqrt{3}\pi = (8 + 16\sqrt{3})\pi \text{ см}^2 \]

Ответ: \( (8 + 16\sqrt{3})\pi \text{ см}^2 \).