5. Диагональ трапеции ABCD делит её на два прямоугольных равнобедренных треугольника. Найдите среднюю линию трапеции, если \(S_{\triangle MCD} = 144 \) см².

Пусть дана трапеция ABCD, диагональ AC делит её на два прямоугольных равнобедренных треугольника. Значит, \(\angle BCA = \angle CAD = 45^\circ\) и \(\angle BAC = \angle ACD = 45^\circ\). \(\triangle MCD\) - прямоугольный и равнобедренный, значит \(MC = CD\). Площадь \(\triangle MCD = \frac{1}{2} * MC * CD = \frac{1}{2} CD^2 = 144\). Отсюда \(CD^2 = 288\), \(CD = \sqrt{288} = 12\sqrt{2}\). Тогда \(\angle ACB = 45^\circ\) и \(\angle BAC = 45^\circ\). Значит, \(\triangle ABC\) - прямоугольный и равнобедренный, поэтому \(BC = AB\). Также \(\angle ACD = 45^\circ\), следовательно \(\angle BCD = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ\). Проведем высоту CH на AD. Тогда \(\angle HCD = 45^\circ\), и \(\triangle CHD\) - прямоугольный и равнобедренный, поэтому \(HD = CD = 12\sqrt{2}\). Так как ABCD - трапеция, то BC || AD. Поэтому ABCD - прямоугольная трапеция. Следовательно, BC = CH = CD = \(12\sqrt{2}\). Тогда AD = AH + HD, где AH = BC = \(12\sqrt{2}\) и HD = \(12\sqrt{2}\). Следовательно, AD = \(24\sqrt{2}\). Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $$\frac{BC + AD}{2} = \frac{12\sqrt{2} + 24\sqrt{2}}{2} = \frac{36\sqrt{2}}{2} = 18\sqrt{2}$$ Ответ: \(18\sqrt{2}\) см