5. Диагональ трапеции ABCD делит её на два равнобедренных треугольника. Найдите среднюю линию трапеции, если \(S_{\triangle ACD}=144\text{ см}^2\).

По рисунку основания трапеции параллельны, а углы при \(B\) и \(C\) прямые. Диагональ \(AC\) делит её на треугольники \(ABC\) и \(ACD\). Поскольку оба треугольника равнобедренные, прямоугольный треугольник \(ACD\) равнобедренный, а \(ABC\) также прямоугольный равнобедренный.

Площадь \(ACD\) равна 144 см². Его равные катеты имеют длину \(x\), поэтому \(x^2/2=144\), откуда \(x^2=288\).

Треугольники \(ABC\) и \(ACD\) имеют общий катет \(AC"). В первом треугольнике катеты равны, поэтому его основание \(AB=AC\); во втором основания трапеции связаны с диагональю: \(BC=CD\). Но для нахождения средней линии нужно знать сумму оснований \(AD+BC\). Из этих условий и прямого угла при \(C\) следует \(AC=CD\), а в \(ABC\) — \(AB=BC\); таким образом, требуемые основания определяются через \(AC\), который является гипотенузой равнобедренного прямоугольного \(ACD\): \(AC=x\sqrt2=24\). Тогда \(BC=AB=AC=24\) и \(AD=CD=x=12\sqrt2\). Средняя линия равна полусумме оснований:

\[m=\frac{AD+BC}{2}=\frac{12\sqrt2+24}{2}=6\sqrt2+12\text{ см}.\]

Ответ: \(12+6\sqrt2\) см.