5. Диагонали ромба равны 8 см и 6 см. Найдите периметр и площадь ромба.

Решение:

Пусть диагонали ромба равны \( d_1 = 8 \) см и \( d_2 = 6 \) см.

Площадь ромба:

Площадь ромба вычисляется по формуле: \( S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \).

\[ S = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = \frac{1}{2} \times 48 = 24 \text{ см}^2 \]

Периметр ромба:

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Рассмотрим один из четырех прямоугольных треугольников, образованных диагоналями.

Катеты этого треугольника равны половинам диагоналей: \( \frac{d_1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) см и \( \frac{d_2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) см.

Гипотенуза этого треугольника является стороной ромба. По теореме Пифагора:

\[ a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 \]

\[ a^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \]

\[ a = \sqrt{25} = 5 \) см.

Периметр ромба равен P = 4 * a.

\[ P = 4 \times 5 = 20 \text{ см} \]

Ответ: Периметр ромба равен 20 см, площадь равна 24 см².