6. В окружности проведены две хорды AB и CD, пересекающиеся в точке М, МВ = 10 см, АМ = 12 см, DC = 23 см. Найдите длины СМ и DM.

Решение:

По свойству пересекающихся хорд в окружности, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Для хорд AB и CD, пересекающихся в точке M, это свойство выражается формулой:

\[ AM \times MB = CM \times MD \]

Нам дано:

• AM = 12 см
• MB = 10 см
• DC = 23 см

Сумма отрезков хорды CD равна её длине: CM + MD = DC = 23 см.

Из этого следует, что MD = 23 - CM.

Подставим известные значения в формулу:

\[ 12 \times 10 = CM \times (23 - CM) \]

\[ 120 = 23 \times CM - CM^2 \]

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ CM^2 - 23 \times CM + 120 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно CM. Можно использовать теорему Виета или формулу дискриминанта.

По теореме Виета, ищем два числа, сумма которых равна 23, а произведение равно 120.

Это числа 8 и 15 (8 + 15 = 23, 8 * 15 = 120).

Таким образом, возможные значения для CM:

• CM = 8 см
• CM = 15 см

Если CM = 8 см, то DM = 23 - 8 = 15 см.

Если CM = 15 см, то DM = 23 - 15 = 8 см.

Оба варианта соответствуют условию задачи.

Ответ: Длины отрезков хорды CD равны 8 см и 15 см. (CM = 8 см, DM = 15 см или CM = 15 см, DM = 8 см).