5. Докажите, что 41³ + 8 · 33³ делится на 107.

5. Доказательство делимости:

Рассмотрим выражение \( 41^3 + 8 · 33^3 \).

Заметим, что \( 8 = 2^3 \), следовательно, \( 8 · 33^3 = (2 · 33)^3 = 66^3 \).

Теперь выражение имеет вид: \( 41^3 + 66^3 \).

Используем формулу суммы кубов \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\). Здесь \(a = 41\) и \(b = 66\).

\[ 41^3 + 66^3 = (41 + 66)(41^2 - 41 · 66 + 66^2) \]

\[ = (107)(41^2 - 41 · 66 + 66^2) \]

Так как одним из множителей является \( 107 \), то всё выражение \( 41^3 + 8 · 33^3 \) делится на \( 107 \).

Ответ: Доказано.