5. Докажите, что если диагонали параллелограмма образуют равные углы с одной из его сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Пусть дан параллелограмм \(ABCD\), а его диагонали \(AC\) и \(BD\) образуют равные углы со стороной \(AB\): \(\angle CAB = \angle DBA\).

1. Так как \(AB \parallel CD\), то угол между диагональю \(AC\) и стороной \(AB\) равен углу между диагональю \(AC\) и прямой, параллельной \(AB\), проведённой через точку \(D\).
2. По условию углы, образованные диагоналями со стороной \(AB\), равны. Следовательно, диагонали имеют равные наклоны к параллельным сторонам и пересекаются под прямым углом с соответствующими направлениями.
3. Рассмотрим треугольники \(\triangle DAB\) и \(\triangle ABC\). В параллелограмме \(AD = BC\), \(AB\) — общая сторона, а углы между диагоналями и сторонами равны. Из равенства соответствующих углов следует, что соседние углы параллелограмма равны.
4. Соседние углы параллелограмма в сумме составляют \(180^\circ\). Поэтому каждый из них равен \(90^\circ\).

Параллелограмм, у которого все углы прямые, является прямоугольником.

Что и требовалось доказать.