5. Докажите, что при всех значениях $x\ne\pm2$ значение выражения $\frac{x}{x+2}-\frac{(x-2)^2}{2}\cdot\left(\frac{1}{x^2-4}+\frac{1}{x^2-4x+4}\right)$ не зависит от $x$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Докажите, что при всех значениях $x\ne\pm2$ значение выражения…$ Фото задания

5. Докажите, что при всех значениях $x\ne\pm2$ значение выражения $\frac{x}{x+2}-\frac{(x-2)^2}{2}\cdot\left(\frac{1}{x^2-4}+\frac{1}{x^2-4x+4}\right)$ не зависит от $x$.

Accepted Answer

Разложим знаменатели на множители: $x^2-4=(x-2)(x+2)$, $x^2-4x+4=(x-2)^2$. Учитывая условие $x\ne\pm2$, преобразуем выражение:

\[\begin{aligned}\frac{x}{x+2}-\frac{(x-2)^2}{2}\left(\frac{1}{(x-2)(x+2)}+\frac{1}{(x-2)^2}\right)&=\frac{x}{x+2}-\frac{1}{2}\left(\frac{x-2}{x+2}+1\right)\\&=\frac{x}{x+2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{x+2}\\&=0.\end{aligned}\]

Получилось постоянное значение, не зависящее от $x$.

Ответ: выражение тождественно равно $0$.

5. Докажите, что при всех значениях \(x\ne\pm2\) значение выражения \(\frac{x}{x+2}-\frac{(x-2)^2}{2}\cdot\left(\frac{1}{x^2-4}+\frac{1}{x^2-4x+4}\right)\) не зависит от \(x\).

Ответ: