5. Докажите, что при всех значениях $x\ne\pm2$ значение выражения $\frac{x}{x+2}-\frac{(x-2)^2}{2}\left(\frac{1}{x^2-4}+\frac{1}{x^2-4x+4}\right)$ не зависит от $x$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Докажите, что при всех значениях $x\ne\pm2$ значение выражения…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели на множители: $x^2-4=(x-2)(x+2)$, $x^2-4x+4=(x-2)^2$. По условию $x\ne\pm2$, поэтому преобразования допустимы.

Сложим дроби в скобках:

\[\frac{1}{(x-2)(x+2)}+\frac{1}{(x-2)^2}=\frac{(x-2)+(x+2)}{(x-2)^2(x+2)}=\frac{2x}{(x-2)^2(x+2)}.\]

Подставим результат в исходное выражение и сократим:

\[\frac{x}{x+2}-\frac{(x-2)^2}{2}\cdot\frac{2x}{(x-2)^2(x+2)}=\frac{x}{x+2}-\frac{x}{x+2}=0.\]

Получилось постоянное значение, не зависящее от $x$.

Ответ: выражение тождественно равно $0$ при всех $x\ne\pm2$.

5. Докажите, что при всех значениях \(x\ne\pm2\) значение выражения \(\frac{x}{x+2}-\frac{(x-2)^2}{2}\left(\frac{1}{x^2-4}+\frac{1}{x^2-4x+4}\right)\) не зависит от \(x\).