5. Докажите тождество: $\frac{(x-4y)^2}{x^2+16y^2}+\frac{(x+4y)^2}{x^2+16y^2}=2$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Докажите тождество: $\frac{(x-4y)^2}{x^2+16y^2}+\frac{(x+4y)^2}{x^2+16y^2}=2$.$ Фото задания

Accepted Answer

Область допустимых значений: $x^2+16y^2\ne0$, то есть $x$ и $y$ не равны нулю одновременно.

Сложим числители и раскроем скобки:

\[\frac{(x-4y)^2+(x+4y)^2}{x^2+16y^2}=\frac{x^2-8xy+16y^2+x^2+8xy+16y^2}{x^2+16y^2}.\]

Приведём подобные слагаемые и сократим на общий ненулевой знаменатель:

\[\frac{2x^2+32y^2}{x^2+16y^2}=\frac{2(x^2+16y^2)}{x^2+16y^2}=2.\]

Тождество доказано.

5. Докажите тождество: \(\frac{(x-4y)^2}{x^2+16y^2}+\frac{(x+4y)^2}{x^2+16y^2}=2\).