5. Два автомобиля движутся по взаимно перпендикулярным дорогам, приближаясь к перекрестку. Модуль скорости движения первого автомобиля v₁ = 50 км/ч, модуль скорости движения второго — v₂ = 70 км/ч. В начальный момент времени первый автомобиль находится на расстоянии l₁ = 640 м, а второй — на расстоянии l₂ = 600 м от перекрестка. Через какой промежуток времени расстояние между автомобилями станет таким же, как в начальный момент времени?

Переведём скорости в метры в секунду:

\(v_1=50\,\frac{\text{км}}{\text{ч}}=\frac{125}{9}\,\frac{\text{м}}{\text{с}}\), \(v_2=70\,\frac{\text{км}}{\text{ч}}=\frac{175}{9}\,\frac{\text{м}}{\text{с}}\).

Так как дороги перпендикулярны, начальное расстояние между автомобилями определяется теоремой Пифагора:

\(L_0^2=l_1^2+l_2^2\).

Через время \(t\) расстояние от автомобилей до перекрёстка будет равно \(l_1-v_1t\) и \(l_2-v_2t\). По условию:

\((l_1-v_1t)^2+(l_2-v_2t)^2=l_1^2+l_2^2\).

После раскрытия скобок и сокращения:

\(t\bigl((v_1^2+v_2^2)t-2(l_1v_1+l_2v_2)\bigr)=0\).

Корень \(t=0\) соответствует начальному моменту. Для искомого момента:

\[t=\frac{2(l_1v_1+l_2v_2)}{v_1^2+v_2^2}.\]

\[t=\frac{2\left(640\cdot\frac{125}{9}+600\cdot\frac{175}{9}\right)}{\left(\frac{125}{9}\right)^2+\left(\frac{175}{9}\right)^2}=72\,\text{с}.\]

Ответ: через \(72\,\text{с}\).