5. Два мастера, работая вместе, могут выполнить заказ за 6 часов. Если первый мастер будет работать 9 ч, а потом его сменит второй, то он закончит работу через 4 ч. За сколько времени может выполнить заказ каждый из мастеров, работая отдельно?

Решение:

1. Пусть \( x \) — время, за которое первый мастер выполнит весь заказ, работая один.
2. Пусть \( y \) — время, за которое второй мастер выполнит весь заказ, работая один.
3. Производительность первого мастера: \(\frac{1}{x}\) заказа в час.
4. Производительность второго мастера: \(\frac{1}{y}\) заказа в час.
5. Совместная производительность: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\) (т.к. вместе они выполняют заказ за 6 часов).
6. Первый мастер работал 9 часов, выполнив \( 9 \cdot \frac{1}{x} \) заказа.
7. Второй мастер работал 4 часа, закончив заказ, т.е. выполнил \( 4 \cdot \frac{1}{y} \) заказа.
8. Составим второе уравнение: \(\frac{9}{x} + \frac{4}{y} = 1\) (т.к. работа выполнена полностью).
9. Решим систему уравнений:
• \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\)
• \(\frac{9}{x} + \frac{4}{y} = 1\)
10. Из первого уравнения выразим \(\frac{1}{y} = \frac{1}{6} - \frac{1}{x}\).
11. Подставим во второе уравнение: \(\frac{9}{x} + 4(\frac{1}{6} - \frac{1}{x}) = 1\)
12. \(\frac{9}{x} + \frac{4}{6} - \frac{4}{x} = 1\)
13. \(\frac{5}{x} + \frac{2}{3} = 1\)
14. \(\frac{5}{x} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\)
15. \( x = 5 · 3 = 15 \) часов.
16. Теперь найдём \( y \): \(\frac{1}{y} = \frac{1}{6} - \frac{1}{15} = \frac{5 - 2}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}\).
17. \( y = 10 \) часов.

Ответ: Первый мастер выполнит заказ за 15 часов, а второй — за 10 часов.