5. Evaluate the integral: \(\int\limits_{}^{} \frac{x+y}{x^2+y^2} dx\).

Решение:

Для вычисления данного интеграла, разделим его на два интеграла:

\( \int\limits_{}^{} \frac{x+y}{x^2+y^2} dx = \int\limits_{}^{} \frac{x}{x^2+y^2} dx + \int\limits_{}^{} \frac{y}{x^2+y^2} dx \)

Первый интеграл:

\( \int\limits_{}^{} \frac{x}{x^2+y^2} dx \)

Сделаем замену переменной: \( u = x^2 + y^2 \), тогда \( du = 2x dx \), или \( x dx = \frac{1}{2} du \).

\( \int\limits_{}^{} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int\limits_{}^{} \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln|u| + C_1 = \frac{1}{2} \ln(x^2+y^2) + C_1 \).

Второй интеграл:

\( \int\limits_{}^{} \frac{y}{x^2+y^2} dx \)

Вынесем \( y \) за знак интеграла:

\( y \int\limits_{}^{} \frac{1}{x^2+y^2} dx \)

Применим формулу \( \int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a}) + C \), где \( a=y \).

\( y \cdot \frac{1}{y} \arctan(\frac{x}{y}) + C_2 = \arctan(\frac{x}{y}) + C_2 \).

Соединим результаты:

\( \int\limits_{}^{} \frac{x+y}{x^2+y^2} dx = \frac{1}{2} \ln(x^2+y^2) + \arctan(\frac{x}{y}) + C \), где \( C = C_1 + C_2 \).

Ответ: \( \frac{1}{2} \ln(x^2+y^2) + \arctan(\frac{x}{y}) + C \).