5. f(x) = ln(1/(1+x)); f' (1/3).

Решение:

Найдем производную функции \( f(x) = \ln\left(\frac{1}{1+x}\right) \). Используем свойство логарифма \( \ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b) \).

\[ f(x) = \ln(1) - \ln(1+x) = 0 - \ln(1+x) = -\ln(1+x) \]

Теперь найдем производную \( f'(x) \):

\[ f'(x) = -\frac{1}{1+x} \]

Теперь подставим \( x = \frac{1}{3} \) в выражение для производной:

\[ f'\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{1 + \frac{1}{3}} = -\frac{1}{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} = -\frac{1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4} \]

Ответ: f'(1/3) = -3/4.