5) $$\frac{6^{12} \cdot (6^3)^5}{(6^5)^4 \cdot 6^4}$$

Задание 5

Нужно упростить дробь: \( \frac{6^{12} \cdot (6^3)^5}{(6^5)^4 \cdot 6^4} \).

Решение:

1. Сначала упростим числитель дроби, используя свойства степеней.
2. Раскроем скобки: \( (6^3)^5 = 6^{3 \cdot 5} = 6^{15} \).
3. Теперь числитель выглядит так: \( 6^{12} \cdot 6^{15} \).
4. Сложим степени: \( 6^{12+15} = 6^{27} \).
5. Теперь упростим знаменатель дроби.
6. Раскроем скобки: \( (6^5)^4 = 6^{5 \cdot 4} = 6^{20} \).
7. Теперь знаменатель выглядит так: \( 6^{20} \cdot 6^4 \).
8. Сложим степени: \( 6^{20+4} = 6^{24} \).
9. Теперь вся дробь выглядит так: \( \frac{6^{27}}{6^{24}} \).
10. Вычтем степени: \( 6^{27-24} = 6^3 \).
11. Вычислим результат: \( 6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216 \).

Ответ: 216