6) $$\frac{25^4 \cdot 125^{10}}{5^{37}}$$

Задание 6

Нужно упростить дробь: \( \frac{25^4 \cdot 125^{10}}{5^{37}} \).

Решение:

1. Заметим, что числа 25 и 125 можно представить как степени пятерки: \( 25 = 5^2 \) и \( 125 = 5^3 \).
2. Подставим эти значения в числитель: \( (5^2)^4 \cdot (5^3)^{10} \).
3. Раскроем скобки, используя свойство \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \( 5^{2 \cdot 4} \cdot 5^{3 \cdot 10} = 5^8 \cdot 5^{30} \).
4. Теперь сложим степени в числителе: \( 5^{8+30} = 5^{38} \).
5. Теперь дробь выглядит так: \( \frac{5^{38}}{5^{37}} \).
6. Вычтем степени: \( 5^{38-37} = 5^1 \).
7. Результат: \( 5^1 = 5 \).

Ответ: 5