5. $\frac{x}{x^2+4x+4}=\frac{4}{x^2-4}-\frac{16}{x^3+2x^2-4x-8}$

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. $\frac{x}{x^2+4x+4}=\frac{4}{x^2-4}-\frac{16}{x^3+2x^2-4x-8}$$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели на множители: $x^2+4x+4=(x+2)^2$, $x^2-4=(x-2)(x+2)$, $x^3+2x^2-4x-8=(x+2)^2(x-2)$. Поэтому ОДЗ: $x\ne-2$, $x\ne2$.

Приведём правую часть к общему знаменателю:

$\frac{4}{(x-2)(x+2)}-\frac{16}{(x+2)^2(x-2)}=\frac{4(x+2)-16}{(x+2)^2(x-2)}$.

Числитель равен $4x-8=4(x-2)$, поэтому правая часть упрощается до $\frac{4}{(x+2)^2}$. Уравнение принимает вид

$\frac{x}{(x+2)^2}=\frac{4}{(x+2)^2}$.

Поскольку $x\ne-2$, умножаем на $(x+2)^2$: $x=4$. Это значение входит в ОДЗ.

Ответ: $x=4$.

5. \(\frac{x}{x^2+4x+4}=\frac{4}{x^2-4}-\frac{16}{x^3+2x^2-4x-8}\)