5. Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертеж передней панели печи показан на рисунке 2. Рис. 1 | Рис. 2 -- | -- <image> | <image> Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (см. рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Задание 5. Радиус закругления арки

На рисунке 2 показан чертеж передней панели печи. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки. Эта арка является частью окружности. Нам нужно найти радиус этой окружности (R).

Нам даны размеры кожуха:

• Высота кожуха (от нижней части до верха арки) = 48 см.
• Ширина нижней части кожуха = 40 см.

Арка образована дугой окружности с центром в середине нижней части кожуха. Это означает, что нижний край дуги находится на высоте 48 см от основания, а ширина в этом месте (40 см) соответствует диаметру окружности, если бы арка была полукруглой. Однако, арка имеет другую форму.

Из условия задачи сказано, что центр окружности находится в середине нижней части кожуха. Это значит, что радиус окружности будет равен расстоянию от центра до любой точки на окружности.

Рассмотрим горизонтальный размер (ширину) в нижней части кожуха – 40 см. Если центр находится посередине, то расстояние от центра до края равно \( \frac{40}{2} = 20 \) см. Это и есть радиус окружности, описанной в нижней части.

Далее, нам дана высота арки – 48 см. Эта высота является расстоянием от основания (нижней части кожуха) до самой верхней точки арки. Если радиус окружности равен 20 см, то максимальная высота, которую могла бы достичь эта окружность от своего основания (если бы она была вписана в прямоугольник), была бы равна диаметру, то есть 40 см.

Однако, в задаче указано, что центр окружности находится в середине нижней части кожуха, и размеры даны на рисунке. На рисунке видно, что размер 40 см является шириной нижней части, а размер 48 см – это высота арки. На чертеже также отмечен радиус R, который идет от центра в нижней части до верхней точки арки.

Если центр окружности находится в середине нижней части, то расстояние от центра до краев нижней части равно \( \frac{40}{2} = 20 \) см. Эта часть является радиусом окружности. Высота арки (48 см) – это расстояние от уровня нижней части до самой верхней точки дуги. Радиус R, как показано на чертеже, идет от центра в нижней части к самой верхней точке арки. Поэтому R является гипотенузой прямоугольного треугольника, где один катет равен половине ширины нижней части (20 см), а другой катет равен высоте арки (48 см).

Используем теорему Пифагора: \( R^2 = 20^2 + 48^2 \)

\( R^2 = 400 + 2304 \)

\( R^2 = 2704 \)

\( R = \sqrt{2704} \)

\( R = 52 \) см.

Ответ: 52 см.