5. Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рис. 2. Найдите радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Решение:

На рисунке 2 изображена верхняя часть кожуха в виде арки. Арка представляет собой сегмент окружности. Центр окружности находится в середине нижней части кожуха.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом \( R \), половиной ширины проёма дверцы топки и расстоянием от центра окружности до верха проёма.

Из рисунка видно:

• Общая ширина кожуха = 60 см.
• Высота от центра до низа кожуха = 40 см.
• Ширина проёма дверцы = \( 60 - 2R \). (Это неверно, ширина проёма — это размер дверцы топки, а 60 — это общий размер арки).

Переосмыслим рисунок:

Рисунок 2 показывает часть арки. Ширина всего кожуха (внизу) равна 60 см. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки. Дуга окружности имеет центр на уровне середины нижней части кожуха (по горизонтали). Высота от центра до низа кожуха — 40 см. Диаметр арки внизу — 60 см, значит, радиус дуги, которая образует арку, если бы она была полным кругом, был бы 30 см.

Однако, арка приварена к передней стенке. Вершина арки находится выше центра. Радиус \( R \) — это радиус дуги окружности. Проведём перпендикуляр из центра окружности к верхней точке арки. Проведём горизонтальную линию через центр окружности. Расстояние от центра до нижней границы арки (горизонтальная линия) равно 40 см. Ширина проёма дверцы топки — \( R \). Верхняя часть арки — это сегмент окружности. Центр окружности лежит на середине нижней линии (60 см).

Ключевая информация:

Центр окружности находится в середине нижней части кожуха.

Высота от центра до нижней линии арки = 40 см.

Ширина всей арки в нижней части = 60 см. Значит, до центра от края = 30 см.

Проведём радиус \( R \) из центра к точке на дуге, где начинается дверца топки. Здесь \( R \) — это гипотенуза прямоугольного треугольника.

Один катет этого треугольника — половина ширины проёма дверцы топки. Другой катет — это расстояние от центра окружности до верха проёма дверцы.

Давайте использовать координаты:

Пусть центр окружности будет \( (0, 0) \). Тогда нижняя линия кожуха находится на \( y = -40 \).

Ширина кожуха = 60. Значит, точки \( (-30, -40) \) и \( (30, -40) \) лежат на окружности (если бы это был полный круг, но это не так).

Вернемся к геометрии:

Рассмотрим прямоугольный треугольник, где гипотенуза — это радиус \( R \).

Один катет — половина ширины дверцы топки. Ширина дверцы топки = \( R \). Значит, катет = \( R/2 \).

Другой катет — расстояние от центра окружности до верха дверцы. Это \( 40 \) см (высота от центра до низа) минус высота дверцы топки (которая равна \( R \)). Но это не совсем так.

Посмотрим на рисунок еще раз:

Центр окружности находится на середине нижней линии (60 см).

Высота от этой линии до начала арки = 40 см.

Радиус \( R \) — это расстояние от центра до точки на арке.

Пусть \( h \) — высота арки над уровнем начала дверцы. Тогда \( R = 40 + h \).

Ширина проёма дверцы = \( R \). Значит, от центра до края дверцы = \( R/2 \).

Применим теорему Пифагора:

Гипотенуза = \( R \).

Катет 1 = \( R/2 \).

Катет 2 = \( 40 \text{ см} - \text{высота дверцы} \)? Нет, это не так.

Правильное рассуждение:

Центр окружности лежит на оси симметрии. Расстояние от центра до нижней части кожуха (основание арки) равно 40 см.

Ширина проёма дверцы топки равна \( R \). Следовательно, расстояние от оси симметрии до края проёма дверцы равно \( R/2 \).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный:

• Гипотенузой — радиус \( R \).
• Одним катетом — \( R/2 \) (половина ширины проёма дверцы).
• Другим катетом — разница между радиусом \( R \) и высотой от центра до начала проёма дверцы. Высота от центра до начала проёма дверцы = \( 40 \text{ см} \).

Таким образом, второй катет равен \( R - 40 \).

По теореме Пифагора:

\[ \left( \frac{R}{2} \right)^2 + (R - 40)^2 = R^2 \]\[ \frac{R^2}{4} + R^2 - 80R + 1600 = R^2 \]\[ \frac{R^2}{4} - 80R + 1600 = 0 \]\[ R^2 - 320R + 6400 = 0 \]