5. Исследуйте и постройте график функции $ f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x $.

Question

5. Исследуйте и постройте график функции $ f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x $.

$Фото задания: 5. Исследуйте и постройте график функции $ f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x $.$ Фото задания

Accepted Answer

Исследование функции $ f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x $:

Область определения: Функция определена для всех действительных чисел, $ D(f) = (-\infty; +\infty) $.
Пересечение с осями координат:
С осью Oy: Подставим $ x = 0 $.
$ f(0) = 0^3 - 3(0)^2 - 9(0) = 0 $. Точка пересечения: $ (0, 0) $.
С осью Ox: Приравняем $ f(x) = 0 $.
$ x^3 - 3x^2 - 9x = 0 $
$ x(x^2 - 3x - 9) = 0 $
$ x = 0 $ или $ x^2 - 3x - 9 = 0 \>.
Решим квадратное уравнение: \( D = (-3)^2 - 4(1)(-9) = 9 + 36 = 45 \>.
\( x = \frac{3 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{3 \pm 3\sqrt{5}}{2} \>.
Точки пересечения: \( (0, 0), (\frac{3 - 3\sqrt{5}}{2}, 0), (\frac{3 + 3\sqrt{5}}{2}, 0) \>.
Приближенные значения: \( \frac{3 - 3(2.236)}{2} \approx \frac{3 - 6.708}{2} \approx -1.85 $ и $ \frac{3 + 3(2.236)}{2} \approx \frac{3 + 6.708}{2} \approx 4.85 $.
Монотонность и экстремумы:
Найдем производную:
$ f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 \>.
Приравняем производную к нулю:
\( 3x^2 - 6x - 9 = 0 $
$ x^2 - 2x - 3 = 0 $
$ (x - 3)(x + 1) = 0 \>.
Критические точки: \( x = 3 $ и $ x = -1 \>.
Определим знаки производной:
Если \( x < -1 $ (например, $ x = -2 $): $ f'(-2) = 3(-2)^2 - 6(-2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0 $ (функция возрастает).
Если $ -1 < x < 3 $ (например, $ x = 0 $): $ f'(0) = 3(0)^2 - 6(0) - 9 = -9 < 0 $ (функция убывает).
Если $ x > 3 $ (например, $ x = 4 $): $ f'(4) = 3(4)^2 - 6(4) - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0 $ (функция возрастает).
Точки экстремума:
$ x_{min} = 3 $ (минимум), $ x_{max} = -1 $ (максимум).
Найдем значения функции в точках экстремума:
$ f(3) = 3^3 - 3(3)^2 - 9(3) = 27 - 27 - 27 = -27 $. Точка минимума: $ (3, -27) \>.
\( f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) = -1 - 3 + 9 = 5 $. Точка максимума: \( (-1, 5) \>.
Выпуклость и точки перегиба:
Найдем вторую производную:
$ f''(x) = (3x^2 - 6x - 9)' = 6x - 6 \>.
Приравняем вторую производную к нулю:
\( 6x - 6 = 0 $
$ x = 1 \>.
Определим знаки второй производной:
Если \( x < 1 $ (например, $ x = 0 $): $ f''(0) = 6(0) - 6 = -6 < 0 $ (график выпуклый вверх).
Если $ x > 1 $ (например, $ x = 2 $): $ f''(2) = 6(2) - 6 = 12 - 6 = 6 > 0 $ (график выпуклый вниз).
Точка перегиба: $ x = 1 \>.
Найдем значение функции в точке перегиба:
\( f(1) = 1^3 - 3(1)^2 - 9(1) = 1 - 3 - 9 = -11 $. Точка перегиба: \( (1, -11) \>.
Асимптоты:
Вертикальных асимптотот нет, так как функция определена везде.
Наклонных асимптот нет, так как степень многочлена больше 1.

Ответ: График функции исследован, построены точки пересечения с осями $ (-1.85, 0), (0, 0), (4.85, 0) $, точка максимума $ (-1, 5) $, точка минимума $ (3, -27) $, точка перегиба $ (1, -11) $. Функция возрастает на $ (-\infty; -1) $ и $ (3; +\infty) $, убывает на $ (-1; 3) $. График выпуклый вверх на $ (-\infty; 1) $ и выпуклый вниз на $ (1; +\infty) $.

5. Исследуйте и постройте график функции \( f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x \).

Ответ:

Исследование функции \( f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x \):