5. Источник монохроматического света мощности Р = 120 Вт испускает за промежуток времени Δt = 1,00 с число фотонов N = 4,00 ⋅ 10^20. Определите длину волны излучения.

Решение:

Мощность источника $$P$$ — это энергия, излучаемая в единицу времени. В данном случае, мощность $$P = 120$$ Вт (ватт), что означает $$120$$ Дж/с.

За промежуток времени $$\Delta t = 1,00$$ с, источник излучает энергию $$E = P \times \Delta t = 120$$ Дж.

Это энергия, состоящая из $$N = 4,00 \times 10^{20}$$ фотонов.

Энергия одного фотона $$E_{фотон}$$ может быть найдена, разделив общую энергию на число фотонов:

$$E_{фотон} = \frac{E}{N} = \frac{120 \text{ Дж}}{4,00 \times 10^{20}} = 30 \times 10^{-20}$$ Дж = $$3,00 \times 10^{-19}$$ Дж.

Энергия фотона также связана с его частотой $$
u$$ и длиной волны $$\lambda$$ соотношениями:

$$E_{фотон} = h \times
u$$

$$c = \lambda \times
u$$

где $$h$$ — постоянная Планка ($$h \approx 6,626 \times 10^{-34}$$ Дж⋅с),

$$c$$ — скорость света в вакууме ($$c \approx 3,00 \times 10^8$$ м/с).

Из второго уравнения выразим частоту: $$
u = \frac{c}{\lambda}$$.

Подставим это в первое уравнение:

$$E_{фотон} = h \times \frac{c}{\lambda}$$

Теперь выразим длину волны $$\lambda$$:

$$\lambda = \frac{h \times c}{E_{фотон}}$$

Подставим известные значения:

$$\lambda = \frac{(6,626 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}) \times (3,00 \times 10^8 \text{ м/с})}{3,00 \times 10^{-19} \text{ Дж}}$$

$$\lambda = \frac{6,626 \times 3,00}{3,00} \times 10^{-34 + 8 - (-19)}$$ м

$$\lambda = 6,626 \times 10^{-34 + 8 + 19}$$ м

$$\lambda = 6,626 \times 10^{-7}$$ м

Чтобы перевести это в нанометры (нм), умножим на $$10^9$$ (так как $$1$$ м = $$10^9$$ нм):

$$\lambda = 6,626 \times 10^{-7} \times 10^9$$ нм = $$6,626 \times 10^2$$ нм = $$662.6$$ нм.

Ответ: Длина волны излучения составляет 662.6 нм.