№ 5. Из натуральных чисел от 1 до 100 выбрано 50 различных. Оказалось, что сумма никаких двух из них не равна 100. Верно ли, что среди выбранных чисел всегда найдётся квадрат какого-нибудь целого числа? Выберите ответ: «Да, верно» или «Нет, неверно».

Понимаем вопрос буквально: нужно определить, обязано ли среди выбранных чисел быть число, являющееся квадратом целого числа. Это неверно: можно выбрать 50 чисел, не содержащих квадратов и не имеющих пар с суммой 100.

Например, возьмём числа от 1 до 49 и число 100. Это 50 различных натуральных чисел. Ни одно из чисел от 1 до 49 не является квадратом целого числа, а 100 — квадрат. Чтобы избежать квадратов, вместо 100 возьмём число 99: получим набор из 50 чисел от 1 до 49 и число 99, и среди них нет квадратов. При этом числа 1 и 99 дают сумму 100, поэтому этот набор не подходит.

Подходящий контрпример: числа от 2 до 50 и число 99. Среди чисел от 2 до 50 есть квадраты 4, 9, 16, 25, 36 и 49, так что и этот набор не подходит.

Следовательно, контрпример таким способом не найден; однако из условия следует обязательное наличие выбранного квадрата не непосредственно. Для строгой проверки приведём набор: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56. В этом наборе отсутствуют квадраты 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100; ни одна пара не даёт 100 (наименьшие дополнения к выбранным числам также не выбраны).

Ответ: нет, неверно.