№ 6. Петя считает все пути из левого нижнего узла клетчатого квадрата 10 × 10 в правый верхний, идущие по линиям сетки вправо и вверх и не поднимающиеся выше главной диагонали. Его друг Вася расставляет в прямоугольнике 2 × 10 числа от 1 до 20 так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце числа шли по возрастанию. У кого количество способов получилось больше? Выберите ответ: «Петя», «Вася» или «Поровну».

У Пети число допустимых путей равно числу путей по диагонали квадрата, не пересекающих её вверх. По формуле Каталана это

\(C_{10}=\frac{1}{11}\binom{20}{10}=16796\).

У Васи допустимые заполнения — это стандартные таблицы формы 2 × 10: числа возрастают слева направо в каждой строке и сверху вниз в каждом столбце. Число таких заполнений также равно числу Каталана \(C_{10}=16796\).

Ответ: поровну.