№5. Из поселка на станцию, расстояние между которыми 32 км, выехал велосипедист. Через 0,5 часа навстречу ему со станции выехал мотоциклист и встретил велосипедиста через 0,5 часа после своего выезда. Известно, что скорость мотоциклиста на 28 км/ч больше скорости велосипедиста. Найдите скорость каждого из них.

Решение:

Дано:

• Расстояние между посёлком и станцией: \( S = 32 \) км.
• Время движения велосипедиста до встречи: \( t_в = 0.5 \) ч (до выезда мотоциклиста) + \( 0.5 \) ч (после выезда мотоциклиста) = \( 1 \) ч.
• Время движения мотоциклиста до встречи: \( t_м = 0.5 \) ч.
• Разница скоростей: \( v_м - v_в = 28 \) км/ч.

Найти:

• Скорость велосипедиста: \( v_в \)
• Скорость мотоциклиста: \( v_м \)

Решение:

1. Обозначим скорость велосипедиста как \( v_в \) км/ч. Тогда скорость мотоциклиста \( v_м = v_в + 28 \) км/ч.
2. За \( 0.5 \) часа до встречи велосипедист проехал расстояние: \( S_в_до = v_в \cdot 0.5 \) км.
3. За \( 0.5 \) часа после выезда мотоциклиста велосипедист проехал расстояние: \( S_в_после = v_в \cdot 0.5 \) км.
4. Общее расстояние, которое проехал велосипедист до встречи: \( S_в = S_в_до + S_в_после = v_в \cdot 0.5 + v_в \cdot 0.5 = v_в \cdot 1 = v_в \) км.
5. Расстояние, которое проехал мотоциклист до встречи: \( S_м = v_м \cdot 0.5 = (v_в + 28) \cdot 0.5 \) км.
6. Сумма расстояний, пройденных велосипедистом и мотоциклистом до встречи, равна общему расстоянию между посёлком и станцией: \( S_в + S_м = 32 \) км.
7. Подставим выражения для \( S_в \) и \( S_м \): \( v_в + (v_в + 28) \cdot 0.5 = 32 \)
8. Решим уравнение: \( v_в + 0.5v_в + 14 = 32 \)
9. \( 1.5v_в = 32 - 14 \)
10. \( 1.5v_в = 18 \)
11. \( v_в = \frac{18}{1.5} = \frac{180}{15} = 12 \) км/ч.
12. Найдем скорость мотоциклиста: \( v_м = v_в + 28 = 12 + 28 = 40 \) км/ч.

Проверка:

• Велосипедист проехал: \( 12 \) км/ч * \( 1 \) ч = \( 12 \) км.
• Мотоциклист проехал: \( 40 \) км/ч * \( 0.5 \) ч = \( 20 \) км.
• Общее расстояние: \( 12 + 20 = 32 \) км. Верно.

Ответ: Скорость велосипедиста 12 км/ч, скорость мотоциклиста 40 км/ч.