5. Из пункта А вниз по реке отправился плот. Через 1 час навстречу ему из пункта В, находящегося в 30 км от А, вышла моторная лодка, которая встретилась с плотом через 2 часа после своего выхода. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.

Решение:

• Обозначения:
  • Пусть $$v_л$$ — собственная скорость лодки (км/ч).
  • Скорость течения реки $$v_т = 2$$ км/ч.
  • Скорость плота $$v_п = v_т = 2$$ км/ч (плот движется по течению).
  • Скорость лодки по течению $$v_{л.п.т.} = v_л + v_т = v_л + 2$$ км/ч.
  • Скорость лодки против течения $$v_{л.п.т.} = v_л - v_т = v_л - 2$$ км/ч.
• Анализ движения:
  • Плот из пункта А отправился первым. Через 1 час из пункта В навстречу ему вышла лодка.
  • Встреча произошла через 2 часа после выхода лодки.
  • Общее время движения плота до встречи: 1 час (до выхода лодки) + 2 часа (после выхода лодки) = 3 часа.
  • За 3 часа плот проплыл расстояние $$S_п = v_п × t_п = 2 × 3 = 6$$ км.
  • Лодка двигалась навстречу плоту 2 часа. Ее скорость относительно воды — $$v_л$$.
  • Расстояние между А и В — 30 км.
• Составление уравнения:
  • Когда лодка вышла из пункта В, плот уже проплыл 6 км от А. Расстояние между лодкой и плотом в этот момент составляло $$30 - 6 = 24$$ км.
  • Лодка и плот двигались навстречу друг другу. Их относительная скорость равна сумме скоростей: $$v_{отн.} = v_п + v_{л.п.т.}$$.
  • Важно: Лодка вышла НАВСТРЕЧУ плоту, значит, она двигалась ПРОТИВ течения, если пункт В находится ВЫШЕ по течению, чем пункт А. Но в условии сказано, что лодка вышла НАВСТРЕЧУ плоту, который движется ВНИЗ по реке. Следовательно, лодка двигалась ВВЕРХ по реке, то есть ПРОТИВ течения.
  • Скорость лодки, с которой она двигалась навстречу плоту: $$v_{л.п.т.} = v_л - v_т = v_л - 2$$.
  • Относительная скорость сближения: $$v_{отн.} = v_п + v_{л.п.т.} = 2 + (v_л - 2) = v_л$$.
  • Расстояние, которое они преодолели вместе навстречу друг другу: $$S_{встречи} = v_{отн.} × t_{лодки} = v_л × 2$$.
  • Это расстояние равно 24 км (расстояние между ними в момент выхода лодки).
  • Итак, $$2v_л = 24$$.
• Находим собственную скорость лодки:

  \[ v_л = \frac{24}{2} = 12 \text{ км/ч} \]

Проверка:

• Скорость плота = 2 км/ч. За 3 часа проплыл 6 км.
• Собственная скорость лодки = 12 км/ч. Скорость лодки против течения = 12 - 2 = 10 км/ч.
• За 2 часа лодка проплыла 10 * 2 = 20 км.
• Общее расстояние, которое прошли друг другу: 6 км (плот) + 20 км (лодка) = 26 км.
• НО! Расстояние между А и В = 30 км. Лодка вышла навстречу плоту. Плот из А вниз. Лодка из В навстречу.
• Время до встречи: t (плот) = t (лодка) + 1.
• Расстояние плота: $$S_п = v_п × t_п = 2 × (t_л + 1)$$.
• Расстояние лодки: $$S_л = v_{л.п.т.} × t_л = (v_л - 2) × t_л$$.
• $$S_п + S_л = 30$$.
• $$2(t_л + 1) + (v_л - 2)t_л = 30$$.
• $$2t_л + 2 + v_л t_л - 2t_л = 30$$.
• $$v_л t_л + 2 = 30$$.
• $$v_л t_л = 28$$.
• Из условия: лодка встретилась с плотом через 2 часа ПОСЛЕ СВОЕГО ВЫХОДА. Значит $$t_л = 2$$ часа.
• $$v_л × 2 = 28$$.
• $$v_л = 14$$ км/ч.

Финальная проверка:

• Скорость плота = 2 км/ч. Время движения плота = 2 + 1 = 3 часа. Расстояние плота = 2 * 3 = 6 км.
• Собственная скорость лодки = 14 км/ч. Скорость лодки против течения = 14 - 2 = 12 км/ч.
• Время движения лодки = 2 часа. Расстояние лодки = 12 * 2 = 24 км.
• Общее расстояние = 6 км (плот) + 24 км (лодка) = 30 км. Условие выполнено.

Ответ: 14 км/ч